Существует ли в пространстве замкнутая самопересекающаяся ломаная, которая пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём в его середине?

   Решение

Тема:    [ Кривые второго порядка ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если бесконечное множество точек обладает тем свойством, что расстояние между любыми двумя точками является целым числом, то все эти точки лежат на одной прямой.

Решение

Пусть точки A, B, C не лежат на одной прямой. Достаточно доказать, что имеется лишь конечное число точек P, расстояния от которых до A, B и C -- целые числа. Пусть k — наибольшее из чисел AB и BC. Тогда | PA - PB|ABk. Геометрическим местом точек P, для которых | PA - PB| = d, является гипербола с фокусами A и B. Так как 0dk, точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами A и B (одна из этих гипербол вырождается в прямую). Аналогично точка P расположена на одной из k + 1 гипербол с фокусами B и C. Поскольку две гиперболы имеют не более четырёх общих точек (задача 31.074), а гиперболы с общими фокусами вообще не имеют общих точек, то всего имеется не более 4(k + 1)² точек пересечения гипербол.

Источники и прецеденты использования