Версия для печати
Убрать все задачи

---

K членов Жюри Десятой Всероссийской олимпиады школьников по информатике решили отметить столь круглую годовщину в одном из лучших ресторанов на Невском проспекте. На десерт вниманию Жюри предложили торт, имеющий форму прямоугольной призмы с выпуклым N-угольником в основании. Жюри вооружается десертными ножами и собирается справедливо разделить торт на K частей равного объема. Ножами можно проводить прямые вертикальные разрезы от одной границы торта до другой; различные разрезы могут иметь общие точки лишь в своих концевых вершинах.

Напишите программу, помогающую членам Жюри построить требуемые K-1 разрезов.

Входные данные
В первой строке входного файла содержатся два целых числа K и N (1 ≤ K, N ≤ 50). Далее следуют N пар вещественных чисел – координаты
последовательно расположенных вершин N-угольника.

Выходные данные
Каждый из K-1 разрезов в выходном файле должен быть представлен четверкой чисел – координатами своих концов. Все числа должны быть разделены пробелами и/или символами перевода строки.

Пример входного файла
4 3
2 1
0 0.5
4 0.5

Пример выходного файла
2 1 1 0.5
2 1 2 0.5
2 1 3 0.5

   Решение

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Решение

  Проведём через A₁, B₁ и C₁ прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то  P = C₁).  Тогда, поскольку  AB || C₁P  и  AA₁ || CC₁,  (направленные) дуги BP, C₁A и A₁C равны. Это и означает, что  A₁P || BC,  то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.).

  Точки C₁ и P симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB, а точки C₁ и C₂ симметричны относительно AB; это значит, что P и C₂ симметричны относительно середины C₀ отрезка AB; аналогично, A₂ и B₂ симметричны точке P относительно середин A₀ и B₀ соответствующих сторон треугольника ABC. Таким образом,   ;   аналогично     и   .   Следовательно, треугольники ABC и A₂B₂C₂ центрально симметричны, и прямые, соединяющие их соответствующие вершины, проходят через центр симметрии.

Источники и прецеденты использования