На землю положили квадратную раму, в центре квадрата установили вертикальный шест. Когда на эту конструкцию сверху натянули ткань, получилась маленькая палатка. Если положить рядом вплотную две таких же рамы, в центре каждой поставить вертикальный шест той же длины и натянуть сверху ткань, получится большая палатка. На маленькую палатку ушло 4 квадратных метра ткани. А сколько ткани потребуется для большой палатки?

   Решение

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = 6  имеет бесконечно много решений в целых числах.

Решение

xy(x – y) + yz(y – z) + zx(z – x) = xy(x – y) + yz(y – z) + zx((z – y) + (y – x)) = xy(x – y) – zx(x – y) + yz(y – z) – zx(y – z) =
= x(y – z)(x – y) + z(y – z)(y – x) = – (x – y)(y – z)(z – x).
Теперь понятно, что если  (x, y, z)  – решение, то для любого целого t тройка  (x + t, y + t, z + t)  тоже является решением. Таким образом, из частного решения  (3, 1, 0)  получаем бесконечную серию  (t + 3, t + 1, t).

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования