Три окружности ω₁, ω₂ и ω₃ радиуса r проходят через точку S и касаются внутренним образом окружности ω радиуса R  (R > r)  в точках T₁, T₂ и T₃ соответственно. Докажите, что прямая T₁T₂ проходит через вторую (отличную от S) точку пересечения окружностей ω₁ и ω₂.

   Решение

Тема:    [ Окружности (построения) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

Решение

Предположим, что мы построили требуемую точку X. Пусть прямая AX пересекает данную окружность S в точке C, а прямая BX — в точке D. Проведём через точку D прямую, параллельную прямой AB; она пересекает окружность S в некоторой точке K. Пусть прямая KC пересекает прямую AB в точке P. Треугольники APC и AXB подобны, поскольку угол A у них общий и APC = CKD = CXD. Из подобия этих треугольников следует, что AP ^. AB = AC ^. AX. Из этого вытекает следующее построение. Проведём через точку A прямую, пересекающую окружность S в некоторых точках C' и X'. Тогда AP ^. AB = AC ^. AX = AC' ^. AX', поэтому мы можем построить точку P. Далее, нам известен угол CDK (он равен углу между прямыми AB и MN). Поэтому мы знаем длину хорды KC, а значит, мы можем построить окружность S', которая имеет тот же самый центр, что и окружность S, и касается хорды KC. Проведя из точки P касательную к окружности S', находим точку C.

Источники и прецеденты использования