Выбрана 1 задача 
Убрать все задачи
Боря задумал целое число, большее 100. Кира называет целое число, большее 1. Если Борино число делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычитает из своего числа названное, и Кира называет следующее число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее. Если Борино число станет отрицательным – Кира проигрывает. Есть ли у неё выигрышная стратегия?
Решение
|
|
 |
Условие
Доска размером 2005×2005 разделена на квадратные клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, ... так, что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерованной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите, что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150, которые занумерованы числами, различающимися более, чем на 23. (Расстояние между клетками – это расстояние между их центрами.)
Решение
Рассмотрим на доске клетчатый квадрат со стороной 105, который назовём большим. Разобьём его на 25 квадратов 21×21, которые назовём малыми.
Занумерованная клетка, находящаяся на расстоянии менее 10 от центральной клетки некоторого малого квадрата, находится в этом малом квадрате. Так как малые квадраты не пересекаются, то в большом квадрате найдётся хотя бы 25 занумерованных клеток. Наименьшее из чисел в них отличается от наибольшего более, чем на 23. Соответствующие две клетки находятся на расстоянии менее 150, поскольку лежат в большом квадрате, расстояние между наиболее удалёнными клетками которого равно
