Лист бумаги имеет форму круга. Можно ли провести на нем пять отрезков, каждый из которых соединяет две точки на границе листа так, чтобы среди частей, на которые эти отрезки делят лист, нашлись пятиугольник и два четырехугольника?

   Решение

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

При каких значениях n все коэффициенты в разложении бинома Ньютона  (a + b)ⁿ  нечётны?

Решение

  Назовём строку треугольника Паскаля хорошей, если в ней все числа, кроме крайних, чётны. Пусть n-я строка хорошая. Это значит, что
(x + 1)ⁿ = xⁿ + 1 + 2f(x),  где f(x) – многочлен с целыми коэффициентами. Возведя это равенство в квадрат, убедимся, что  (x + 1)²ⁿ  имеет тот же вид, то есть 2n-я строка тоже хорошая. Отсюда следует, что хороши все строки с номерами вида 2^k.
  Пусть  n = 2^k,  то есть n-я строка хорошая. Тогда из построения треугольника Паскаля следует, что в предыдущей строке (с номером  2k – 1)  все числа одной чётности, то есть все они нечётны. Кроме того, в n-й строке стоит группа из  n – 1  чётных чисел подряд. Поэтому в (n+1)-й строке под ней образуется группа из  n – 2  чётных чисел, в (n+2)-й – группа из  n – 3  чётных чисел, …, в (2n–2)-й – одно чётное число (в середине). Таким образом, во всех строках с номерами от  2^k + 1  до  2^k – 2  чётные числа есть.

Ответ

При  n = 2^k – 1.

Замечания

См. также задачу 32881.

Источники и прецеденты использования