Карлсон написал дробь ¹⁰/₉₇. Малыш может:
  1) прибавлять любое натуральное число к числителю и знаменателю одновременно,
  2) умножать числитель и знаменатель на одно и то же натуральное число. Сможет ли Малыш с помощью этих действий получить дробь,
  а) равную ½?  б) равную 1?

   Решение

Пусть F₁, F₂, F₃, ... – последовательность выпуклых четырёхугольников, где F_k+1  (при k = 1, 2, 3, ...)  получается так: F_k разрезают по диагонали, одну из частей переворачивают и склеивают по линии разреза с другой частью. Какое наибольшее количество различных четырёхугольников может содержать эта последовательность? (Различными считаются многоугольники, которые нельзя совместить движением.)

   Решение

Тема:    [ Свойства инверсии ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при инверсии с центром O окружность, проходящая через O, переходит в прямую, а окружность, не проходящая через O, — в окружность.

Решение

Случай, когда окружность S проходит через O, фактически был разобран в предыдущей задаче (и формально следует из нее, так как (M^*)^* = M). Предположим теперь, что точка O не принадлежит S. Пусть A и B — точки пересечения окружности S с прямой, проходящей через O и центр S, а M — произвольная точка S. Докажем, что образом S является окружность с диаметром A^*B^*. Для этого достаточно показать, что A^*M^*B^* = 90^o. Но согласно задаче 28.1 OAM OM^*A^* и  OBM OM^*B^*, следовательно, OMA = OA^*M^* и  OMB = OB^*M^*, точнее, (OM, MA) = - (OA^*, M^*A^*) и  (OM, MB) = - (OB^*, M^*B^*) (чтобы не рассматривать различные случаи расположения точек, мы воспользуемся свойствами ориентированных углов между прямыми, изложенными в гл. 2). Поэтому (A^*M^*, M^*B^*) = (A^*M^*, OA^*) + (OB^*, M^*B^*) = (OM, MA) + (MB, OM) = (MB, MA) = 90^o.

Источники и прецеденты использования