Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске 4×6 клеток стоят две чёрные фишки (Вани) и две белые фишки (Серёжи, см. рис.). Ваня и Серёжа по очереди двигают любую из своих фишек на одну клетку вперёд (по вертикали). Начинает Ваня. Если после хода любого из ребят чёрная фишка окажется между двумя белыми по горизонтали или по диагонали (как на нижних рисунках), она считается "убитой" и снимается с доски. Ваня хочет провести обе свои фишки с верхней горизонтали доски на нижнюю. Может ли Серёжа ему помешать?

   Решение

Темы:    [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Решение

  Проведём через A₁, B₁ и C₁ прямые a, b и c, параллельные соответственно BC, CA и AB; покажем, что они вторично пересекают описанную окружность в одной и той же точке. Действительно, пусть c пересекает окружность вторично в точке P (если она касается окружности, то  P = C₁).  Тогда, поскольку  AB || C₁P  и  AA₁ || CC₁,  (направленные) дуги BP, C₁A и A₁C равны. Это и означает, что  A₁P || BC,  то есть a проходит через P. Аналогично b проходит через P (см. рис.).

  Точки C₁ и P симметричны относительно серединного перпендикуляра к AB, а точки C₁ и C₂ симметричны относительно AB; это значит, что P и C₂ симметричны относительно середины C₀ отрезка AB; аналогично, A₂ и B₂ симметричны точке P относительно середин A₀ и B₀ соответствующих сторон треугольника ABC. Таким образом,   ;   аналогично     и   .   Следовательно, треугольники ABC и A₂B₂C₂ центрально симметричны, и прямые, соединяющие их соответствующие вершины, проходят через центр симметрии.

Источники и прецеденты использования