Dписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что  AA₁ = BB₁ = CC₁.  Докажите, что треугольник ABC правильный.

   Решение

Темы:    [ Отношение порядка ] [ Парадоксы ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Перестановки и подстановки (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Три бегуна А, Б, В несколько раз совершили забег на 100 метров. При подведении результатов оказалось, что А обогнал Б больше, чем в половине забегов, Б обогнал В больше, чем в половине забегов, а В обогнал А больше, чем в половине забегов. Могло ли это случиться?

Решение

Пусть в трёх забегах бегуны финишировали в таком порядке: АБВ, БВА, ВАБ. Тогда А был быстрее Б в двух случаях из трёх, Б был быстрее В в двух случаях из трёх, и В был быстрее А в двух случаях из трёх.

Ответ

Могло.

Замечания

Задача из книги Гуго Штейнгауза "Задачи и размышления".

Источники и прецеденты использования