Информация о задаче

Задача 55544

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Автор: Дранишников А.Н.

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках C₁, A₁ и B₁ соответственно. Известно, что AA₁ = BB₁ = CC₁. Докажите, что треугольник ABC — правильный.

Подсказка

Докажите равенство треугольников CC₁B и BB₁C (примените теорему синусов).

Решение

Треугольник B₁AC₁ — равнобедренный, его равные углы при основании B₁C₁ — острые. Поэтому их смежные углы оба тупые и равны между собой.

По теореме синусов из треугольников BB₁C₁ и CC₁B₁ находим, что

$\displaystyle {\frac{B_{1}C_{1}}{\sin \angle C_{1}BB_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_{1}}{\sin \angle BC_{1}B_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_{1}}{\sin \angle CB_{1}C_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{B_{1}C_{1}}{\sin \angle B_{1}CC_{1}}}$ .

Поэтому sin $\angle$ C₁BB₁ = sin $\angle$ B₁CC₁, а т.к. углы острые, то $\angle$ C₁BB₁ = $\angle$ B₁CC₁. Тогда $\angle$ CC₁B₁ = $\angle$ BB₁C₁ и треугольники CC₁B₁ и BB₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

BC₁ = CB₁, BA₁ = BC₁ = CB₁ = CA₁,

т.е. A₁ — середина BC. Аналогично докажем, что B₁ — середина AC, а C₁ — середина AB. Тогда

AB = 2BC₁ = 2BA₁ = BC = 2CA₁ = 2CB₁ = AC.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4867


журнал
Название	"Квант"
год
Год	1985
выпуск
Номер	7
Задача
Номер	М931


олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	10
задача
Номер	1