ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55544
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что AA1 = BB1 = CC1. Докажите, что треугольник ABC — правильный.


Подсказка

Докажите равенство треугольников CC1B и BB1C (примените теорему синусов).


Решение

Треугольник B1AC1 — равнобедренный, его равные углы при основании B1C1 — острые. Поэтому их смежные углы оба тупые и равны между собой.

По теореме синусов из треугольников BB1C1 и CC1B1 находим, что

$\displaystyle {\frac{B_{1}C_{1}}{\sin \angle C_{1}BB_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_{1}}{\sin \angle BC_{1}B_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_{1}}{\sin \angle CB_{1}C_{1}}}$ = $\displaystyle {\frac{B_{1}C_{1}}{\sin \angle B_{1}CC_{1}}}$.

Поэтому sin$ \angle$C1BB1 = sin$ \angle$B1CC1, а т.к. углы острые, то $ \angle$C1BB1 = $ \angle$B1CC1. Тогда $ \angle$CC1B1 = $ \angle$BB1C1 и треугольники CC1B1 и BB1C1 равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,

BC1 = CB1BA1 = BC1 = CB1 = CA1,

т.е. A1 — середина BC. Аналогично докажем, что B1 — середина AC, а C1 — середина AB. Тогда

AB = 2BC1 = 2BA1 = BC = 2CA1 = 2CB1 = AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4867
журнал
Название "Квант"
год
Год 1985
выпуск
Номер 7
Задача
Номер М931
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 46
Год 1983
вариант
Класс 10
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .