ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



Задача 55544  (#1)

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, BC и AC в точках C1, A1 и B1 соответственно. Известно, что AA1 = BB1 = CC1. Докажите, что треугольник ABC — правильный.

Прислать комментарий     Решение


Задача 79440  (#2)

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Доказать, что  4m − 4n  делится на 3k+1 тогда и только тогда, когда  m − n  делится на 3k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79441  (#3)

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

На доске после занятия осталась запись:

  "Вычислить  t(0) − t(π/5) + t(/5) − t(/5) + ... + t(/5) − t(/5),  где  t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79442  (#4)

Темы:   [ Задачи с ограничениями ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теория графов (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

В пространстве расположены 2n точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Проведены  n² + 1  отрезков с концами в этих точках. Докажите, что проведённые отрезки образуют
  а) хотя бы один треугольник;
  б) не менее n треугольников.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79443  (#5)

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Простые числа и их свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

За круглым столом сидят 13 богатырей из k городов, где  1 < k < 13.  Каждый богатырь держит в руке золотой или серебряный кубок, причём золотых кубков тоже k. Князь повелел каждому богатырю передать свой кубок соседу справа и повторять это до тех пор, пока какие-нибудь два богатыря из одного города оба не получат золотые кубки. Доказать, что желание князя всегда будет исполнено.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .