Задача 79441

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Правильные многоугольники ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

На доске после занятия осталась запись:

  "Вычислить  t(0) − t(^π/₅) + t(^2π/₅) − t(^3π/₅) + ... + t(^8π/₅) − t(^9π/₅),  где  t(x) = cos5x + *cos4x + *cos3x + *cos2x + *cosx + *".
Увидев её, студент мехмата сказал товарищу, что он может вычислить эту сумму, даже не зная значений стёртых с доски коэффициентов (вместо них в нашей записи *). Не ошибается ли он?

Решение

Пусть  t_k(x) = cos kx  для   k = 0, 1, 2, 3, 4.  Если рассмотреть аналогичную сумму для t₅ вместо t, то в результате получим 10. Проверим, что для всех остальных t_k суммы равны 0. Для  k = 0  это очевидно. А для  k = 1, 2, 3, 4  приходим к одному и тому же равенству
cos 0 + cos(^2π/₅) + cos(^4π/₅) cos(^6π/₅) + cos(^8π/₅) = cos(^π/₅) + cos(^3π/₅) + cos(^5π/₅) + cos(^7π/₅) + cos(^9π/₅).   Выражение как в правой части, так и в левой части равно 0. Это следует из того, что сумма векторов, идущих из центра правильного пятиугольника в его вершины, равна 0 (см. задачу 55373 а  или задачу 85241).

Ответ

Не ошибается; сумма равна 10.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	46
Год	1983
вариант
Класс	10
задача
Номер	3