ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 85241
Темы:    [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите следующие равенства:

а)   


б)   


в)   


Решение 1

а) См. в).

б)

Следовательно, выражение в скобках равно –1.

в)


Решение 2

Возьмём правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса 1 с центром в начале координат O. Повернём его так, чтобы одна его вершина попала в точку  (1, 0).  Сумма векторов, идущих из точки O в вершины этого n-угольника, равна нулю (см. задачу 55373 а). Рассмотрев суммы проекций этих векторов на оси x и y, получим равенства а) и б). Если же этот n-угольник повернуть на угол α,
то получим равенство в).


Решение 3

   Положим      Тогда   
   Сумма а) – это мнимая часть найденной суммы, а сумма б) – ее действительная часть минус единица (это следует из формулы Муавра). Сумма в) – мнимая часть суммы   w(1 + z + z2 + ... + zn–1),   где   w = cos α + i sin α.

Замечания

1. Аналогично доказывается, что    .

2. Ср. с задачей 61123.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Название Задачи по алгебре, арифметике и анализу
Издательство МЦНМО
Издание 1
Год издания готовится к печати
глава
Номер 11
Тригонометрия
параграф
Номер 4
Название Суммы синусов и косинусов, связанные с правильными многоугольниками
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .