Какое наименьшее число точек можно выбрать на окружности длины 1956 так, чтобы для каждой из этих точек нашлась ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояния измеряются по окружности)?

   Решение

Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол 360^o/n относительно некоторой точки.

   Решение

Тема:    [ Многочлены Гаусса ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите сумму  S_l(x) = g_0,l(x) – g_1,l–1(x) + g_2,l–2(x) – ... + (–1)^lg_l,0(x).
Определение многочленов Гаусса g_k,l(x) можно найти в справочнике.

Решение

  Из задачи 61522 в) следует, что  S_l(x) = (1 – x^l–1)g_0,l–1(x) – (1 – x^l–2)g_1,l–2(x) + ... + (–1)^l–1(1 – x⁰)g_l–1,0(x).  Применяя очевидное равенство
(1 – x^m)g_k,m(x) = (1 – x^k+m)g_k,m–1(x)  к каждому слагаемому в последней сумме, приходим к равенству  S_l(x) = (1 – x^l–1)S_l–2(x).
  Поскольку  S₁(x) = 0,  отсюда следует, что  S_l(x) = 0  для каждого нечётного l.
  S₀(x) = 1,  поэтому для чётного  l = 2n  получаем  

Ответ

Источники и прецеденты использования