Даны выпуклый многоугольник и квадрат. Известно, что как ни расположи две копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая обеим копиям. Докажите, что как ни расположи три копии многоугольника внутри квадрата, найдётся точка, принадлежащая всем трём копиям.

   Решение

Темы:    [ Итерации ] [ Многочлены (прочее) ] [ Предел функции ] [ Монотонность и ограниченность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Дан многочлен P(x) с действительными коэффициентами. Бесконечная последовательность различных натуральных чисел a₁, a₂, a₃, ... такова, что
P(a₁) = 0,  P(a₂) = a₁,  P(a₃) = a₂,  и т.д. Какую степень может иметь P(x)?

Решение

  Константа, очевидно, не удовлетворяет условию.
  Годится, например, многочлен  P(x) = x – 1.
  Заметим, что старший коэффициент многочлена P положителен (иначе,  P(x) < 0  при достаточно больших положительных х, и количество положительных значений в натуральных точках конечно). Если степень P выше первой, то и у многочлена  P(x) – x  старший коэффициент положителен, поэтому найдётся такое натуральное N, что  P(x) > x  для каждого  x ∈ N.  Пусть указанная последовательность существует. Начиная с некоторого номера члены, меньшие N, закончатся, то есть найдётся такое n, что  a_k ≥ N  при всех  k > n.  Тогда  a_n = P(a_n+1) > a_n+1,  a_n+1 = P(a_n+2) > a_n+2,  ..., то есть
a_n > a_n+1 > a_n+2 > ...  – бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Ответ

Только первую степень.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования