a и b – натуральные числа. Покажите, что если  4ab – 1  делит  (4a² – 1)²,  то  a = b.

   Решение

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что из любых семи натуральных чисел (не обязательно идущих подряд) можно выбрать три числа, сумма которых делится на 3.

Решение

По принципу Дирихле, из семи чисел можно выбрать три, дающие одинаковые остатки при делении на 3. Их сумма делится на 3.

Замечания

1. Нетрудно понять, что даже из любых пяти натуральных чисел можно выбрать три, сумма которых делится на три.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования