Версия для печати
Убрать все задачи

---

Угол, образованный лучами  y = x  и  y = 2x  при  x ≥ 0,  высекает на параболе  y = x² + px + q  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

   Решение

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа a, b, c, d таковы, что наименьшее общее кратное этих чисел равно  a + b + c + d.
Докажите, что abcd делится на 3 или на 5 (или на то и другое).

Решение

  Пусть  M = НОК(a, b, c, d) = a + b + c + d.  Достаточно доказать, что M делится на 3 или на 5. Можно считать, что  a ≥ b ≥ c ≥ d.  Если все четыре числа равны, то  M = a,  что противоречит условию. Следовательно, число  b + c + d  меньше 3a и делится на a.
  Если  b + c + d = 2a,  то  M = 3a  кратно 3.
  Пусть  b + c + d = a,  M = 2a = 2(b + c + d).  Тогда  2(c + d)  делится на b. Если  b = c = d,  то  a = 3b  кратно 3. Если  c + d < 2b,  то  2(c + d)  равно 3b, 2b или b, при этом  M = 5b,  4b или 3b. В первом и последнем случаях M кратно 3 или 5.
  Остался случай  a = 2b,  c + d = b.  При этом  M = 4(c + d)  делится на c, следовательно, 4d равно 4c, 3c, 2c или c. Во втором случае d кратно 3, в остальных  c = d,  2d или 4d. Соответственно,  b = 2d,  3d или 5d. В последних двух случаях b кратно 3 или 5.
  Случай же  a = 2b = 4c = 4d  невозможен: снова  НОК(a, b, c, d) = a.

Замечания

8-9 кл. – 4 балла, 10-11 кл. – 3 балла.

Источники и прецеденты использования