Задача 66329

Темы:    [ Касающиеся окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Биссектриса угла ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Панов М.Ю.

В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $CL$. Серединный перпендикуляр к стороне $AC$ пересекает отрезок $CL$ в точке $K$.
Докажите, что описанные окружности треугольников $ABC$ и $AKL$ касаются.

Решение

Проведём в общей точке $A$ этих окружностей касательные $l$ и $m$ соответственно. Угол между $l$ и хордой $AB$ равен $\angle C$. Угол между $m$ и хордой $AL$ равен  $\angle AKL = \angle KAC + \angle KCA = 2\angle KCA = \angle C$.  Следовательно, прямые $l$ и $m$ совпадают, что и требовалось.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
номер/год
Номер	39
Дата	2017/18
вариант
Вариант	осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер	2