Задача 66565

Тема:    [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Соколов А.

Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Серединный перпендикуляр к $BC$ пересекает $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$. Прямая $AO$ пересекает прямую $BC$ в точке $D$, $M$ — середина $BC$. Описанная окружность треугольника $ADM$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $E$, отличной от $A$. Докажите, что прямая $OE$ касается описанной окружности треугольника $AXY$.

Решение

Заметим, что $OA$ касается описанной окружности треугольника $AXY$, так как $$\angle BAO = 90^{\circ} - \angle C = \angle MYC = \angle XYA.$$ Пусть $F$ — точка на окружности, описанной около $ABC$, такая что $AF \perp BC$. Ясно, что $$\begin{align*} \angle AEF &= \angle AEB + \angle BEF =\\ &= \angle ACB + \angle BAF = \\ &= \angle ACD + \angle DAC =\\ &= \angle ADM = \angle AEM. \end{align*}$$ Получаем, что $E$, $M$ и $F$ лежат на одной прямой. Кроме того, $\angle MEC = \angle FEC = \angle FAC = \angle MYC$, что значит, что $E$, $Y$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности. Далее, $$\begin{align*} \angle AEY &= \angle AEC - \angle YEC =\\ &= 180^{\circ} - \angle ABC - \angle YMC = \\ &= 90^{\circ} - \angle ABC = \angle AXY, \end{align*}$$ т.е. $E$ лежит на описанной окружности треугольника $AXY$. Тогда $OE$ — касательная, так как $OE=OA$ и $OA$ — касательная к окружности $AXY$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	83
Год	2020
класс
Класс	10
задача
Номер	4