ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 66661
УсловиеДан неравнобедренный треугольник ABC. Вписанная окружность касается его сторон AB, AC и BC в точках D, E, F соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке N. Пусть T – ближайшая к N точка пересечения прямой AN с вписанной окружностью, а
K – точка пересечения прямых DE и FT. Докажите, что AK||BC. РешениеПусть G – точка вписанной окружности, противоположная F. Так как вписанная и вневписанная окружности гомотетичны с центром A, точки A, G и N лежат на одной прямой, а FT⊥AN. При полярном преобразовании относительно вписанной окружности прямая ED переходит в A, FT – в точку пересечения касательных к окружности в точках F и T, т.е. середину FN, совпадающую с серединой BC, а прямая, проходящая через A и параллельная BC, – в точку L пересечения ED и GF. Таким образом, достаточно доказать, что AL – медиана треугольника ABC. Поскольку AE=AD, то sin∠CALsin∠BAL=ELDL. Применяя теорему синусов к треугольникам EFL и EDL, получаем ELDL=EFsin∠EFLDFsin∠DFL. Но ∠EFL=∠C/2, ∠DFL=∠B/2, а EFDF=cos∠C/2cos∠B/2. Следовательно, sin∠CALsin∠BAL=ABAC, т.е. AL – медиана. Источники и прецеденты использования
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке