Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66661
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Преобразования плоскости (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Зимин А.

Дан неравнобедренный треугольник ABC. Вписанная окружность касается его сторон AB, AC и BC в точках D, E, F соответственно. Вневписанная окружность касается стороны BC в точке N. Пусть T – ближайшая к N точка пересечения прямой AN с вписанной окружностью, а K – точка пересечения прямых DE и FT. Докажите, что AK||BC.

Решение

Пусть G – точка вписанной окружности, противоположная F. Так как вписанная и вневписанная окружности гомотетичны с центром A, точки A, G и N лежат на одной прямой, а FTAN. При полярном преобразовании относительно вписанной окружности прямая ED переходит в A, FT – в точку пересечения касательных к окружности в точках F и T, т.е. середину FN, совпадающую с серединой BC, а прямая, проходящая через A и параллельная BC, – в точку L пересечения ED и GF. Таким образом, достаточно доказать, что AL – медиана треугольника ABC.

Поскольку AE=AD, то sinCALsinBAL=ELDL. Применяя теорему синусов к треугольникам EFL и EDL, получаем ELDL=EFsinEFLDFsinDFL. Но EFL=C/2, DFL=B/2, а EFDF=cosC/2cosB/2. Следовательно, sinCALsinBAL=ABAC, т.е. AL – медиана.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2018
Заочный тур
задача
Номер 20 [10-11 кл]

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .