Информация о задаче

Задача 102507

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Известно, что расстояние от центра описанной окружности до стороны AB треугольника ABC равняется половине радиуса этой окружности. Найдите высоту треугольника ABC, опущенную на сторону AB, если она меньше $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , а две другие стороны треугольника равны 2 и 3.

Подсказка

Если вершина C и центр описанной окружности данного треугольника ABC расположены по одну сторону от прямой AB, то $\angle$ ACB = 60^o, а если — по разные, то $\angle$ ACB = 120^o

Решение

Пусть O центр окружности радиуса R, описанной около треугольника ABC, CH — высота треугольника, OM = ${\frac{1}{2}}$ R — перпендикуляр, опущенный из центра окружности на сторону AB, AC = 2, BC = 3.

В прямоугольном треугольнике OMB катет OM вдвое меньше гипотенузы OB = R. Значит, $\angle$ OBM = 30^o. Тогда $\angle$ AOB = 120^o.

Если точки O и C расположены по одну сторону от прямой AB (рис.1), то $\angle$ ACB = ${\frac{1}{2}}$ $\angle$ AOB = 60^o (вписанный угол равен половине соответствующего центрального).

По теореме косинусов

AB = $\displaystyle \sqrt{CA^{2}+CB^{2}-2\cdot CA\cdot CB \cos 60^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+9-6}$ = $\displaystyle \sqrt{7}$ .

Поскольку

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.AB^.CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{7}$ ^.CH и S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CA^.CB^.sin 60^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^.3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ,

то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{7}$ ^.CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^.3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Отсюда находим, что CH = ${\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ .

Поскольку

CH = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ > $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \Leftarrow$ 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ > $\displaystyle \sqrt{7}$ $\displaystyle \Leftarrow$ 18 > 7,

то найденное значение высоты не удовлетворяет условию задачи.

Пусть точки O и C расположены по разные стороны от прямой AB (рис.2). Тогда

$\displaystyle \angle$ ACB = 180^o - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ $\displaystyle \angle$ AOB = 180^o - 60^o = 120^o,

AB = $\displaystyle \sqrt{CA^{2}+CB^{2}-2\cdot CA\cdot CB \cos 120^{\circ}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+9+6}$ = $\displaystyle \sqrt{19}$ .

S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{19}$ ^.CH и S_ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.CA^.CB^.sin 120^o = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^.3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ ,

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. $\displaystyle \sqrt{19}$ ^.CH = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^.3^. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3}}{2}}$ .

Отсюда находим, что CH = ${\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}$ . Поскольку при этом

CH = $\displaystyle {\frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{19}}}$ < $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{2}}$ $\displaystyle \Leftarrow$ 3 $\displaystyle \sqrt{2}$ < $\displaystyle \sqrt{19}$ $\displaystyle \Leftarrow$ 18 < 19,

то найденное значение высоты удовлетворяет условию задачи.

Ответ

3 $\sqrt{\frac{3}{19}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3930