а) В группе из четырёх человек, говорящих на разных языках, любые трое могут общаться (возможно, один переводит двум другим).
Доказать, что их можно разбить на пары, в каждой из которых имеется общий язык.
б) То же для группы из 100 человек.
в) То же для группы из 102 человек.

   Решение

Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося?

   Решение

Темы:    [ Средняя линия трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Середину более длинной боковой стороны прямоугольной трапеции соединили с вершинами трапеции. При этом трапеция разделилась на три равнобедренных треугольника. Найдите величину острого угла трапеции.

Решение

  Пусть ABCD – данная трапеция, AD и BC – ее основания  (AD > BC),  AB ⊥ AD.  Тогда  CD > AB  (см. рис.). Пусть M – середина CD, а MN – средняя линия трапеции. Тогда  MN ⊥ AB,  поэтому в треугольнике AMB высота совпадает с медианой, следовательно,  AM = MB.  Пусть  ∠MBC = α.  Так как треугольник BCM – равнобедренный, а угол BCM – тупой, то  BC = CM = MD.  Поскольку треугольник AMD – равнобедренный и  AD > BC,  то  AD = AM.
  ∠MAD = 90° – ∠MAB = 90° – ∠MBA = α, ∠BCM = 180° – 2α, ∠ADM = 90° – ^α/₂.  Так как  ∠BCM + ∠ADM = 180°,  то  180° – 2α + 90° – ^α/₂ = 180°,  откуда
α = 36°,  а  ∠ADC = 72°.

Ответ

72°.

Источники и прецеденты использования