В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

   Решение

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существует ли такое шестизначное число A, что среди чисел  A, 2A, ..., 500000A  нет ни одного числа, оканчивающегося шестью одинаковыми цифрами?

Решение 1

  Пусть A взаимно просто с 10. Тогда числа A, 2A, ..., 10⁶A дают при делении на 10⁶ все возможные остатки по одному разу (см. зад. 60733). Поэтому достаточно найти такое число A, что остатки 111111, 222222, ..., 999999 появятся на девяти последних местах, то есть у чисел от  (10⁶ – 9)A  до  (10⁶ – 1)A.
  Возьмём  A = 888889 ≡ – 111111 (mod 10⁶).  Тогда  (10⁶ – m)A ≡ – mA ≡ 111111m (mod 10⁶).

Решение 2

  Возьмём  A = 999997 = 10⁶ – 3.  Пусть kA оканчивается шестью одинаковыми цифрами, то есть имеет вид  10⁶m + 111111n  (n = 0, 1, ..., 9).  Тогда
(10⁶ – 3)k = 10⁶m + 3·37037n  или  10⁶(k – m) = 3·(k + 37037n).  Поэтому  k + 37037n  делится на 10⁶. Следовательно,  k + 37037n ≥ 10⁶,  откуда
k ≥ 10⁶ – 37037·9 > 500000.

Ответ

Существует.

Замечания

1. 8 баллов.

2. Обобщение см. в задаче М1581 из Задачника "Кванта".

Источники и прецеденты использования