Два пирата делят добычу, состоящую из двух мешков монет и алмаза, действуя по следующим правилам. Вначале первый пират забирает себе из любого мешка несколько монет и перекладывает из этого мешка в другой такое же количество монет. Затем также поступает второй пират (выбирая мешок, из которого он берет монеты, по своему усмотрению) и т.д. до тех пор, пока можно брать монеты по этим правилам. Пирату, взявшему монеты последним, достается алмаз. Кому достанется алмаз, если каждый из пиратов старается получить его? Дайте ответ в зависимости от первоначального количества монет в мешках.

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите квадрат в данный параллелограмм.

Решение

Пусть вершины K , L , M и N квадрата KLMN лежат на сторонах соответственно AB , BC , CD и AD параллелограмма ABCD (вершины перечислены по часовой стрелке). Известно, что в таком случае центры квадрата и параллелограмма совпадают. Пусть O — их общий центр. При повороте на угол 90^o вокруг точки O квадрат KLMN переходит в себя. Вершина N , лежащая на стороне AD параллелограмма, переходит в вершину M , лежащую на стороне CD . При этом прямая AD переходит в перпендикулярную ей прямую, проходящую через точку M .
Отсюда вытекает следующий способ построения. Повернём на 90^o прямую AD вокруг центра O параллелограмма. Получим прямую, перпендикулярную AD . Если эта прямая пересекает сторону CD в точке M , то M — вершина искомого квадрата. Тогда прямая MO пересекает сторону AB в противоположной вершине K искомого квадрата. Прямая, проходящая через точку O перпендикулярно KM , пересекает стороны противоположные стороны AD и BC данного параллелограмма в вершинах N и L искомого квадрата. Если образ прямой AD при рассматриваемом повороте не пересекает отрезок CD , то задача не имеет решений.

Источники и прецеденты использования