Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q^–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.

   Решение

Дана пирамида SA₁A₂...A_n, основание которой – выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. Для каждого  i = 1, 2, ..., n  в плоскости основания построили треугольник X_iA_iA_i+1, равный треугольнику SA_iA_i+1 и лежащий по ту же сторону от прямой A_iA_i+1, что и основание (мы полагаем  A_n+1 = A₁).  Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание.

   Решение

Темы:    [ Четность перестановки ] [ Разложение в произведение транспозиций и циклов ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В ряд выписаны числа 1, 2, 3, ..., n. За один ход разрешается поменять местами любые два числа.
Может ли после 1989 таких операций порядок чисел оказаться исходным?

Решение

  Каждая пара  (a, b)  чисел может находиться в двух состояниях: правильном, когда меньшее число стоит левее, и неправильном, когда меньшее число стоит правее. Если между числами a и b стоит ровно k чисел, и мы поменяем a и b местами, то ровно  2k + 1  пара поменяет свое состояние: сама пара  (a, b)  и все пары, содержащие одно из чисел a, b и одно из k промежуточных чисел. Поэтому каждая операция меняет четность числа неправильных пар.
  В начале все пары были правильными. Значит после 1989 операций число неправильных пар станет нечётным. Следовательно, полученный ряд чисел не совпадает с исходным.

Ответ

Не может.

Замечания

1. Ср. с задачей 30311.

2. Мы фактически воспроизвели доказательство известного факта: транспозиция меняет чётность перестановки. На него, конечно, можно просто сослаться.

Источники и прецеденты использования