ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 116774
УсловиеДана пирамида SA1A2...An, основание которой – выпуклый многоугольник A1A2...An. Для каждого i = 1, 2, ..., n в плоскости основания построили треугольник XiAiAi+1, равный треугольнику SAiAi+1 и лежащий по ту же сторону от прямой AiAi+1, что и основание (мы полагаем An+1 = A1). Докажите, что построенные треугольники покрывают всё основание. Решение 1Рассмотрим произвольную точку P основания и докажем, что она покрыта одним из треугольников. Возьмём маленькую сферу, лежащую внутри пирамиды и касающуюся основания в точке P (такая, очевидно, найдётся). Начнём увеличивать её радиус, сохраняя условие касания; тогда в некоторый момент она впервые коснётся боковой поверхности пирамиды. Пусть, скажем, она коснулась грани SA1A2 в точке Q (см. рис.). Решение 2 Предположим, что некоторая точка P основания не покрыта треугольниками. Тогда для каждого i либо (SA1 + ... + SAn) + (PA1 + ... + PAn) < (SA1 + ... + SAn) + (PA1 + ... + PAn). Противоречие. Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |