ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61019
Темы:    [ Производная и кратные корни ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для данного многочлена P(x) опишем способ, который позволяет построить многочлен R(x), который имеет те же корни, что и P(x), но все кратности 1. Положим  Q(x) = (P(x), P'(x))  и  R(x) = P(x)Q–1(x).  Докажите, что
  а) все корни многочлена P(x) будут корнями R(x);
  б) многочлен R(x) не имеет кратных корней.


Решение

  Из равенства  P(x) = R(x)Q(x)  следует, что все корни многочлена R будут корнями P.
  С другой стороны, пусть a – корень кратности n многочлена P, то есть  P(x) = (x – a)nS(x),  где S(x) не делится на  x – a.
P'(x) = (x – a)nS'(x) + n(x – a)n–1S(x).  Таким образом, P'(x), а значит, и Q(x) делится на  (x – a)n–1,  но не на  (x – a)n.  Теперь из равенства
P(x) = R(x)Q(x)  следует, что R(x) делится на  x – a,  но не на  (x – a)2.  Это и значит, что все корни P являются корнями R, а R не имеет кратных корней.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 4
Название Многочлены с кратными корнями
Тема Многочлены (прочее)
задача
Номер 06.096

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .