Задача 56940

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 5 Классы: 9

Условие

На окружности фиксированы точки P и C; точки A и B перемещаются по окружности так, что угол ACB остается постоянным. Докажите, что прямые Симсона точки P относительно треугольников ABC касаются фиксированной окружности.

Решение

. Пусть A₁ и B₁ — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и AC. Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром PC. Так как  sin A₁CB₁ = sin ACB, хорды A₁B₁ этой окружности имеют фиксированную длину. Следовательно, прямые A₁B₁ касаются фиксированной окружности.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.091