Версия для печати
Убрать все задачи

---

Четырехугольник $ABCD$ – вписанный. Окружность, проходящая через точки $A$ и $B$, пересекает диагонали $AC$ и $BD$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Пусть прямые $AF$ и $BC$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BE$ и $AD$ – в точке $Q$. Докажите, что $PQ$ параллельна $CD$.

   Решение

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC через центр O описанной окружности и вершины B и C проведена окружность S. Пусть OK – диаметр окружности S, D и E – соответственно точки её пересечения с прямыми AB и AC. Докажите, что ADKE – параллелограмм.

Подсказка

Докажите, что ∠AEK = 180° – ∠A.

Решение

  Без ограничения общности рассмотрим случай, когда точка D лежит на стороне AB, а точка E – на продолжении стороны AC за точку C (см. рис.). Обозначим  ∠A = α.  Тогда  ∠BOC = 2α,  ∠OBC = ∠OCB = 90° – α.
  Поскольку точка E лежит на окружности с диаметром OK, то  ∠OEK = 90°,  а так как вписанные в окружность S углы OEC и OBC опираются на одну дугу, то  ∠OEC = ∠OBC = 90° – α.  Поэтому  ∠AEK = 90° + 90° – α = 180° – α.  Значит,  AD || KE.  Аналогично,  AE || DK.  Следовательно, ADKE – параллелограмм.

Источники и прецеденты использования