а) Мальвина разбила каждую грань куба 2×2×2 на единичные квадраты и велела Буратино в некоторых квадратах написать крестики, а в остальных нолики так, чтобы каждый квадрат граничил по сторонам с двумя крестиками и двумя ноликами. На рисунке показано, как Буратино выполнил задание (видно только три грани). Докажите, что Буратино ошибся.

б) Помогите Буратино выполнить задание правильно. Достаточно описать хотя бы одну верную расстановку.

   Решение

Темы:    [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC  (AB = BC)  средняя линия, параллельная стороне BC, пересекается со вписанной окружностью в точке F, не лежащей на основании AC. Докажите, что касательная к окружности в точке F пересекается с биссектрисой угла C на стороне AB.

Решение

  Пусть указанная касательная пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно, а прямую AC – в точке P. Точка касания M вписанной окружности со стороной AC – середина AC.

  Обозначим  ∠C = ∠CAB = α.  Треугольник MPF – равнобедренный, поэтому  ∠PEC = ∠PFM =∠PMF = ∠ACB = α.
  Пусть вписанная окружность треугольника ABC (она же вписанная окружность равнобедренного треугольника CPE) касается сторон BC и AB в точках K и L соответственно. Тогда  FE = EK = KC = CM = AM = AL,  поэтому  AD = AL + LD = EF + DF = DE.
  Значит, треугольники DAC и DEC равны по трём сторонам. Следовательно, CD – биссектриса угла C, что и требовалось.

Источники и прецеденты использования