Задача 57768

Тема:    [ Момент инерции ]

Сложность: 4 Классы: 9

Условие

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, H — точка пересечения высот. Докажите, что a² + b² + c² = 9R² - OH².

Решение

Пусть M — центр масс вершин треугольника ABC с единичными массами. Тогда I_O = I_M + 3MO² = (a² + b² + c²)/3 + 3MO² (см. задачи 14.17 и 14.18, а)). А так как OA = OB = OC = R, то I_O = 3R². Остается заметить, что OH = 3OM (задача 5.105).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	14
Название	Центр масс
Тема	Центр масс
параграф
Номер	3
Название	Момент инерции
Тема	Момент инерции
задача
Номер	14.020