Версия для печати
Убрать все задачи

---

В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.

   Решение

Темы:    [ Достроение тетраэдра до параллелепипеда ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Пусть a и a1 , b и b1 , c и c1 – пары противоположных рёбер тетраэдра; α , β и γ соответственно – углы между ними ( α 90^o , β 90^o и γ 90^o ). Докажите, что из трёх величин aa1 cos α , bb1 cos β и cc1 cos γ одна равна сумме двух других.

Решение

Пусть ABCD – тетраэдр, в котором

AB=a, CD=a1, BC=b, AD = b1, AC=c, BD=c1,
угол между прямыми AB и CD равен α , между прямыми BC и AD – β , между прямыми AC и BD – γ . Достроим тетраэдр ABCD до параллелепипеда AKBLNDMC ( AN || KD || BM || LC ), проведя через его противоположные рёбра пары параллельных плоскостей. Обозначим AK=x , BK=y , BM=z . Предположим, что x y z . Пусть O – точка пересечения диагоналей параллелограмма AKBL . Тогда KOB = α . По теореме косинусов
y2= + - 2· · cos α, x2= + + 2· · cos α.
поэтому x2-y2=aa1 cos α . Аналогично, x2-z2=bb1 cos β и y2-z2=cc1 cos γ . Следовательно,
cc1 cos γ +aa1 cos α = (y2-z2) + (x2-y2) = x2-z2 = bb1 cos β.

Источники и прецеденты использования