Версия для печати
Убрать все задачи

---

В каждой клетке квадрата 8×8 клеток проведена одна из диагоналей. Рассмотрим объединение этих 64 диагоналей. Оно состоит из нескольких связных частей (к одной части относятся точки, между которыми можно пройти по одной или нескольким диагоналям). Может ли количество этих частей быть больше
  а) 15;
  б) 20?
  в) Может ли в аналогичной задаче про квадрат n×n клеток получиться больше чем ^n²/₄ частей (для  n > 8)?

   Решение

Темы:    [ Линейные зависимости векторов ] [ Углы между прямыми и плоскостями ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует с плоскостью основания угол 60^o . Найдите угол между боковыми гранями пирамиды.

Решение

Пусть ABCD – правильная треугольная пирамида с вершиной P , F – основание перпендикуляра, опущенного из середины L ребра BC прямую AP . Прямая AL – ортогональная проекция наклонной AP на плоскость основания пирамиды. По теореме о трёх перпендикулярах AP BC , поэтому прямая AP перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости BFC . Значит, прямая AP перпендикулярна плоскости BFC . Поэтому FL – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых AP и BC . Из прямоугольного треугольника AFL находим, что

FL = AL sin FAL = AL sin DAM = · sin 60^o = .
Поскольку прямая AP перпендикулярна плоскости треугольника BFC , угол между боковыми гранями PAB и PAC – это угол BFC . Обозначим BFC = γ . В равнобедренном треугольнике BFC медиана FL является высотой и биссектрисой, поэтому в прямоугольном треугольнике BLF угол BFL равен ,
tg = = = .
По известной формуле тригонометрии можно найти и косинус угла между боковыми гранями данной пирамиды:
cos γ = = = .

Ответ

2 arctg = arccos .

Источники и прецеденты использования