Версия для печати
Убрать все задачи

---

На рис. изображен шестиугольник, разбитый на чёрные и белые треугольники так, что каждые два треугольника имеют либо общую сторону (и тогда они окрашены в разные цвета), либо общую вершину, либо не имеют общих точек, а каждая сторона шестиугольника является стороной одного из черных треугольников. Докажите, что десятиугольник разбить таким образом нельзя.

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Биссектриса угла A треугольника ABC пересекает серединный перпендикуляр к стороне AB в точке X, серединный перпендикуляр к стороне AC – в точке Y, а описанную окружность треугольника – в точке Z. Точки A, X, Y и Z лежат на биссектрисе в порядке перечисления. Докажите, что  AX = YZ.

Решение

Пусть указанные в условии серединные перпендикуляры пересекаются в центре O описанной окружности треугольника ABC. Перпендикуляр, опущенный из точки O на хорду AZ проходит через её середину P. Если M и N – середины сторон AB и AC соответственно, то
∠OXY = ∠AXM = 90° – ∠MAX = 90° – ½ ∠A,  ∠OYX = ∠NYA = 90° – ∠NAY = 90° – ½∠A = ∠OXY.  Значит, треугольник OXY – равнобедренный. Его высота OP является медианой, поэтому  PX = PY,  то есть P – середина XY. Следовательно,  AX = AP – PX = ZP – PY = YZ.

Источники и прецеденты использования