Версия для печати
Убрать все задачи

---

Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?

   Решение

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны AC в точке K. Вторая окружность, также с центром O, пересекает все стороны треугольника ABC. Пусть E и F – её точки пересечения со сторонами соответственно AB и BC, ближайшие к вершине B; B₁ и B₂ – точки её пересечения со стороной AC, B₁ – ближе к A. Докажите, что точки B, K и точка P пересечения отрезков B₂E и B₁F лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть L и M – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами AB и BC соответственно. Тогда  AK = AL,  BL = BM,  CM = CK.
  Из равенства прямоугольных треугольников OKB₁, OKB₂, OLE и OMF по катету и гипотенузе следует, что  B₁K = B₂K = EL = FM.  Поэтому  BE = BF,
AE = AB₂,  CF = CB₁.
  Пусть отрезки B₁F и B₂E пересекают BK в точках P₁ и P₂ соответственно. Достаточно доказать, что точки P₁ и P₂ совпадают.

  Рассмотрим треугольник ABK и прямую B₂E. По теореме Менелая     Аналогично  

  Следовательно,     то есть точки P₁ и P₂ совпадают.

Источники и прецеденты использования