В остроугольном треугольнике ABC провели высоты AA₁ и BB₁, которые пересекаются в точке O. Затем провели высоту A₁A₂ треугольника OBA₁ и высоту B₁B₂ треугольника OAB₁. Докажите, что отрезок A₂B₂ параллелен стороне AB.

   Решение

Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O. В треугольнике AOB проведены высоты AA₁ и BB₁, а в треугольнике COD — высоты CC₁ и DD₁. Докажите, что точки  A₁, B₁, C₁ и D₁ лежат на одной прямой.

   Решение

В тетраэдре ABCD проведены медианы AM и DN граней ACD и ADB . На этих медианах взяты соответственно точки E и F , причём EF || BC . Найдите отношение EF:BC .

   Решение

Темы:    [ Целочисленные треугольники ] [ Простые числа и их свойства ] [ Формула Герона ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Длины сторон треугольника – простые числа. Докажите, что его площадь не может быть целым числом.

Решение

  Пусть длины сторон треугольника равны a, b, c. Из формулы Герона имеем:  16S² = P(P – 2a)(P – 2b)(P – 2c),  где S – площадь, а  P = a + b + c  – периметр треугольника.
  Допустим, что S – целое число. Тогда P чётно (если P нечётно, то 16S² нечётно, что не так). Следовательно, либо числа a, b, c – чётные, либо среди них одно чётное и два нечётных.
  В первом случае, так как a, b, c – простые числа,  a = b = c = 2,  и площадь треугольника равна   ,   то есть нецелая.
  Во втором случае будем считать, что  a = 2,  а b и c – нечётные простые числа. Если  b ≠ c,  то  |b – c| ≥ 2,  и неравенство треугольника не выполнено. Следовательно,  b = c.  Подставив, получим  S² = b² – 1,  или  (b – S)(b + S) = 1,  что невозможно для натуральных b и S.

Источники и прецеденты использования