Версия для печати
Убрать все задачи

---

В республике математиков выбрали число  α > 2  и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в α^k рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?

   Решение

---

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

   Решение

Тема:    [ Центр поворотной гомотетии ]

Сложность: 3+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

а) Пусть P — точка пересечения прямых AB и A₁B₁. Докажите, что если среди точек A, B, A₁, B₁ и P нет совпадающих, то общая точка описанных окружностей треугольников PAA₁ и PBB₁ является центром поворотной гомотетии, переводящей точку A в A₁, а точку B в B₁, причем такая поворотная гомотетия единственна.
б) Докажите, что центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок BC, является точка пересечения окружности, проходящей через точку A и касающейся прямой BC в точке B, и окружности, проходящей через точку C и касающейся прямой AB в точке B.

Решение

а) Если O — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A₁B₁, то

а значит, точка O является точкой пересечения описанных окружностей треугольников PAA₁ и PBB₁. Случай, когда эти окружности имеют единственную общую точку P, очевиден: отрезок AB переходит в отрезок A₁B₁ при гомотетии с центром P. Если P и O — две точки пересечения рассматриваемых окружностей, то из равенств (1) следует, что OAB OA₁B₁, а значит, O — центр поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок A₁B₁.
б) Достаточно заметить, что точка O является центром поворотной гомотетии, переводящей отрезок AB в отрезок BC, тогда и только тогда, когда (BA, AO) = (CB, BO) и  (AB, BO) = (BC, CO).

Источники и прецеденты использования