Задача 64774

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Ивлев Ф., Нилов Ф.

Точка M – середина стороны AC треугольника ABC. На отрезках AM и CM выбраны точки P и Q соответственно таким образом, что  PQ = ^AC/₂.  Описанная окружность треугольника ABQ второй раз пересекает сторону BC в точке X, а описанная окружность треугольника BCP, второй раз пересекает сторону AB в точке Y. Докажите, что четырёхугольник BXMY – вписанный.

Решение 1

  Из вписанности четырёхугольников BCPY и BAQX следует, что  ∠APY = ∠ABC = ∠CQX.  Пусть прямая, проходящая через M параллельно QX, пересекает прямую BC в точке K, а прямая, проходящая через M параллельно PY, пересекает прямую AB в точке L. Тогда  ∠AML = ∠ABC = ∠CMK,  откуда  ∠ALM = 180° – ∠LAM – ∠AML = 180° – ∠BAC –∠ABC = ∠ACB.  Значит, треугольники MAL и MKC подобны по двум углам.

  По условию  AP = AM – PM = PQ – PM = MQ;  аналогично  CQ = PM.  Отсюда  AY : YL = AP : PM = MQ : QC = KX : XC.  Значит, Y и X – соответственные точки в подобных треугольниках MAL и MKC. Следовательно,  ∠MXC = ∠MYL = ∠MYB.  Это и означает, что четырёхугольник BYMX вписан.

Решение 2

  Выберем на отрезке PQ такую точку Z, что  CQ = QZ.  Тогда  AP + QC = AC – PQ = PQ,  PZ = PQ – QZ = PQ – QC = AP.

  Из вписанности четырёхугольника BYPC имеем  AB·AY = AP·AC = 2AP·^AC/₂ = AZ·AM.  Аналогично CX·CB = CZ·CM.
  Если  Z ≠ M,  полученные равенства означают, что каждая из четвёрок точек B, Y, Z, M и B, X, Z, M лежит на одной окружности, то есть точки X и Y лежат на описанной окружности треугольника BMZ.
  Если же  Z = M,  то те же равенства означают, что точки X и Y лежат на (единственной!) окружности, проходящей через B и касающейся AC в точке M.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2013-2014
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.6