Дан набор из нескольких гирек, на каждой написана масса. Известно, что набор масс и набор надписей одинаковы, но возможно некоторые надписи перепутаны. Весы представляют из себя горизонтальный отрезок, закреплённый за середину. При взвешивании гирьки прикрепляются в произвольные точки отрезка, после чего весы остаются в равновесии либо отклоняются в ту или иную сторону. Всегда ли удастся за одно взвешивание проверить, все надписи верны или нет? (Весы будут в равновесии, если сумма моментов гирь справа от середины равна сумме моментов гирь слева; иначе отклонятся в сторону, где сумма больше. Моментом гири называется произведение ms массы гири m на расстояние s он нее до середины отрезка.)

   Решение

Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что

= .

   Решение

Темы:    [ Троичная система счисления ] [ Взвешивания ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Прислать комментарий

Условие

В сумме  + 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729  можно вычеркивать любые слагаемые и изменять некоторые знаки перед оставшимися числами с "+" на "–". Маша хочет таким способом сначала получить выражение, значение которого равно 1, затем, начав сначала, получить выражение, значение которого равно 2, затем (снова начав сначала) получить 3, и так далее. До какого наибольшего целого числа ей удастся это сделать без пропусков?

Решение

Каждое целое число можно записать в виде суммы степеней тройки с коэффициентами 0, 1 и –1 вместо обычных 0, 1 и 2 (см. задачу 30840). Следовательно, Маша сумеет получить все целые числа от 1 до  1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093.

Ответ

До числа 1093 (включительно).

Источники и прецеденты использования