Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

На столе лежат три кучки спичек. В первой кучке находится 100 спичек, во второй – 200, а в третьей – 300. Двое играют в такую игру. Ходят по очереди, за один ход игрок должен убрать одну из кучек, а любую из оставшихся разделить на две непустые части. Проигравшим считается тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнер?

   Решение

Темы:    [ Теорема косинусов ] [ Площадь параллелограмма ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Стороны параллелограмма равны a и b , а острый угол между диагоналями равен α . Найдите площадь параллелограмма.

Решение

Пусть a<b . Тогда против острого угла между диагоналями, лежит сторона, равная a . Обозначим через x и y половины диагоналей параллелограмма. По теореме косинусов

a2 = x2+y2 - 2xy cos α, b2 = x2+y2 - 2xy cos (180^o-α) = x2+y2 + 2xy cos α.
Тогда b2-a2 = 4xy cos α , откуда находим, что 2xy = . Пусть S – площадь параллелограмма. Тогда
S = · 2x· 2y sin α = 2xy sin α= · sin α = (b2-a2) tg α.
Если a>b , то аналогично получим, что S = (a2-b2) tg α .

Ответ

|b2-a2| tg α .

Источники и прецеденты использования