ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56626
Тема:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ]
Сложность: 5
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1, B1 и C1. Докажите, что если треугольники A1B1C1 и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB1C1, A1BC1 и A1B1C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Как следует из задачи 2.80, б), доказательство достаточно провести лишь для одного такого треугольника A1B1C1, например для треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Пусть H — точка пересечения высот треугольника A1B1C1, т. е. центр описанной окружности треугольника ABC. Так как  A1H $ \perp$ B1C1 и  B1H $ \perp$ A1C1, то  $ \angle$(A1H, HB1) = $ \angle$(B1C1, A1C1) = $ \angle$(A1C, CB1), т. е. точка H лежит на описанной окружности треугольника A1B1C. Аналогично доказывается, что она лежит на описанных окружностях треугольников A1BC1 и AB1C1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 2
Название Вписанный угол
Тема Вписанный угол
параграф
Номер 9
Название Три описанные окружности пересекаются в одной точке
Тема Три окружности пересекаются в одной точке
задача
Номер 02.081

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .