Задача 56626

Тема:    [ Три окружности пересекаются в одной точке ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что если треугольники A₁B₁C₁ и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.

Решение

Как следует из задачи 2.80, б), доказательство достаточно провести лишь для одного такого треугольника A₁B₁C₁, например для треугольника с вершинами в серединах сторон треугольника ABC. Пусть H — точка пересечения высот треугольника A₁B₁C₁, т. е. центр описанной окружности треугольника ABC. Так как  A₁H B₁C₁ и  B₁H A₁C₁, то  (A₁H, HB₁) = (B₁C₁, A₁C₁) = (A₁C, CB₁), т. е. точка H лежит на описанной окружности треугольника A₁B₁C. Аналогично доказывается, что она лежит на описанных окружностях треугольников A₁BC₁ и AB₁C₁.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	9
Название	Три описанные окружности пересекаются в одной точке
Тема	Три окружности пересекаются в одной точке
задача
Номер	02.081