Игра происходит на квадрате клетчатой бумаги 9×9. Играют двое, ходят по очереди. Начинающий игру ставит в свободные клетки крестики, его партнер – нолики. Когда все клетки заполнены, подсчитывается количество К строк и столбцов, в которых крестиков больше, чем ноликов,и количество Н строк и столбцов, в которых ноликов больше, чем крестиков. Разность  В = К – Н  считается выигрышем игрока, который начинает. Найдите такое значение B, что
  1) первый игрок может обеспечить себе выигрыш не меньше B, как бы ни играл второй игрок;
  2) второй игрок всегда может добиться того, что первый получит выигрыш не больше B, как бы тот ни играл.

   Решение

Темы:    [ Неравенства с площадями ] [ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ] [ Пятиугольники ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма площадей пяти треугольников, образованных парами соседних сторон и соответствующими диагоналями выпуклого пятиугольника, больше площади всего пятиугольника.

Решение

Пусть для определенности ABC — треугольник наименьшей площади. Обозначим точку пересечения диагоналей AD и EC через F. Тогда  S_ABCDE < S_AED + S_EDC + S_ABCF. Так как точка F лежит на отрезке EC и  S_EAB S_CAB, то  S_EAB S_FAB. Аналогично  S_DCB S_FCB. Поэтому  S_ABCF = S_FAB + S_FCB S_EAB + S_DCB. Следовательно,  S_ABCDE < S_AED + S_EDC + S_EAB + S_DCB; это даже более сильное неравенство, чем требовалось.

Замечания

Источники и прецеденты использования