|
|
 |
Условие
Дана доска 15×15. Некоторые пары центров соседних по стороне клеток соединили отрезками так, что получилась замкнутая несамопересекающаяся ломаная, симметричная относительно одной из диагоналей доски. Докажите, что длина ломаной не больше 200.
Решение
Ясно, что ломаная пересекает диагональ. Пусть A – одна из вершин ломаной, лежащая на диагонали.
Будем двигаться по ломаной, пока не попадём в первый раз снова в вершину B, лежащую на диагонали. Из симметрии, если двигаться по ломаной из A в другую сторону, то B также окажется первой вершиной на диагонали, в которую мы попадём. При этом ломаная уже замкнётся, поэтому через остальные 13 центров клеток на диагонали ломаная не проходит.
Раскрасим доску в шахматном порядке так, чтобы диагональ была чёрной.
Заметим, что на нашей ломаной белые и чёрные клетки чередуются, поэтому их количества равны.
Всего на доске (15² + 1) : 2 = 113 чёрных клеток. Поскольку клетки диагонали чёрные и ломаная не проходит через 13 из них, то она проходит не более чем через 100 чёрных клеток. Итого длина ломаной не более 2·100 = 200.
