Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точки A, B и O не лежат на одной прямой. Проведите через точку O прямую l так, чтобы сумма расстояний от нее до точек A и B была: а) наибольшей; б) наименьшей.

   Решение

---

Найдите корень уравнения = 7 .

   Решение

Темы:    [ Периодичность и непериодичность ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Существует ли такая бесконечная периодическая последовательность, состоящая из букв a и b, что при одновременной замене всех букв a на aba и букв b на bba она переходит в себя (возможно, со сдвигом)?

Решение

  Натуральное число n назовём периодом периодической последовательности x₁x₂..., если x_i = x_i+n для всех  i = 1, 2, ... . Легко доказать, что
    любой период кратен наименьшему;
    для любого k наименьшие периоды последовательностей x₁x₂... и x_k+1x_k+2... совпадают.
  Пусть x₁x₂... – последовательность, удовлетворяющая условиям задачи, и n – её наименьший период. Рассмотрим три случая.
  1)  n = 3m.  Число m не является периодом последовательности  (m < n),  поэтому найдётся такая пара x_i, x_i+m, что  x_i ≠ x_i+m.  Заменив все буквы x_i, ..., x_i+m по правилу  a → aba,  b → bba,  мы получим фрагмент последовательности:       (1)
  Но, согласно сделанным замечаниям, из того, что  n = 3m,  следует, что начальная тройка букв этого фрагмента совпадает с конечной. Противоречие.
  2)  n = 3m + 1.  Тогда, как и выше, найдётся пара x_i ≠ x_i+m.  Но тогда вторая буква фрагмента (1) должна совпадать с последней, что не так.
  3)  n = 3m – 1.  Тогда третья буква фрагмента (1) должна совпадать с предпоследней. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования