Можно ли раскрасить все натуральные числа, большие 1, в три цвета (каждое число – в один цвет, все три цвета должны использоваться) так, чтобы цвет произведения любых двух чисел разного цвета отличался от цвета каждого из сомножителей?

   Решение

Сумма n чисел равна нулю, а сумма их квадратов равна единице. Докажите, что среди этих чисел найдутся два, произведение которых не больше  – ¹/_n.

   Решение

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Сто натуральных чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Возможно ли, что каждые два из этих чисел взаимно просты?

Решение

Например, такими являются числа 1,  1 + 99!,  1 + 2·99!,  ...,  1 + 99·99!.  Действительно, пусть два числа имеют общий простой делитель p. Тогда p делит их разность, то есть число вида n·99!, где  n < 100.  Поэтому и  p < 100.  Но при делении на такое число все числа дают в остатке 1. Противоречие.

Ответ

Возможно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования