Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность ω, касающуюся описанной окружности Ω треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на ω точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались ω, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности ω.

   Решение

Темы:    [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC (AD > BC) равна 48, а площадь треугольника AOB, где O — точка пересечения диагоналей трапеции, равна 9. Найдите отношение оснований трапеции AD : BC.

Подсказка

S_AOD = ^. S_AOB.

Решение

Заметим, что треугольники ABD и ACD равновелики, т.к. у них общее основание и равные высоты. Значит, равновелики треугольники COD и AOB.

Пусть = x > 1. Из подобия треугольников AOD и COB следует, что = = = x. Тогда

а т.к.

получаем уравнение 9x + = 30, больший корень которого (x = 3) удовлетворяет условию x > 1.

Ответ

3.

Источники и прецеденты использования