Информация о задаче

Задача 102304

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Прямоугольный треугольник ABC вписан в окружность. Из вершины C прямого угла проведена хорда CM, пересекающая гипотенузу в точке K. Найдите площадь треугольника ABM, если AK : AB = 1 : 4, BC = $\sqrt{2}$ , AC = 2.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Обозначим $\angle$ ABC = $\beta$ . Из прямоугольного треугольника ABC находим, что

AB = $\displaystyle \sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{4+2}$ = $\displaystyle \sqrt{6}$ , cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{BC}{AB}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}$ .

Тогда BK = ${\frac{3}{4}}$ AB = ${\frac{3}{4}}$ $\sqrt{6}$ . По теореме косинусов из треугольника BKC находим, что

CK = $\displaystyle \sqrt{BC^{2}+BK^{2}-2\cdot BC\cdot BK \cos \beta}$ = $\displaystyle \sqrt{2+\frac{27}{8}-2\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{3}{4}\sqrt{6}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{19}{8}}$ .

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд CK^.KM = AK^.KB, откуда находим, что

KM = $\displaystyle {\frac{AK\cdot KB}{CK}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{\sqrt{6}}{4}\cdot \frac{3\sqrt{6}}{4}}{\sqrt{\frac{19}{8}}}}$ = $\displaystyle {\frac{9\sqrt{2}}{4\sqrt{19}}}$ .

Треугольники ABC и AMB имеют общее основание AB, поэтому их площади относятся как высоты, опущенных из вершин C и M. Отношение же указанных высот равно отношению отрезков CK и KM. Следовательно,

S_ABM = $\displaystyle {\frac{KM}{CK}}$ ^.S_ABC = $\displaystyle {\frac{\frac{9\sqrt{2}}{4\sqrt{19}}}{\sqrt{\frac{19}{8}}}}$ ^. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^.2^. $\displaystyle \sqrt{2}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{9}{19}}$ $\displaystyle \sqrt{2}$ .

Ответ

${\frac{9}{19}}$ $\sqrt{2}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3731