Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

   Решение

Темы:    [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Деление с остатком ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

В строку выписано 23 натуральных числа (не обязательно различных). Докажите, что между ними можно так расставить скобки, знаки сложения и умножения, что значение полученного выражения будет делиться на 2000 нацело.

Решение

  Разобьём данные 23 числа на восемь групп из стоящих подряд чисел: три группы по пять чисел и четыре группы по два числа. Каждую группу заключим в скобки, а между группами расставим знаки умножения. Если расставить знаки внутри каждой группы так, чтобы результат операций в группе из двух чисел делился на 2, а в группе из пяти чисел – на 5, то всё выражение будет делиться на  2⁴·5³ = 2000.
  Покажем, что такая расстановка знаков в группах существует. Если числа в группе из двух чисел разной чётности, то между ними нужно поставить знак умножения, если одинаковой чётности – сложения. Результат, очевидно, будет чётен.
  Рассмотрим группу из чисел a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, идущих именно в таком порядке. Согласно решению задачи 103964 среди них найдётся насколько идущих подряд, сумма которых делится на 5. Расставим знаки сложения между числами, входящими в эту сумму  a_i + ... + a_j,  саму сумму (если требуется) заключим в скобки, а все оставшиеся промежутки между числами группы заполним знаками умножения.

Источники и прецеденты использования