а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?

  б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?

  в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?

   Решение

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Описанные четырехугольники ] [ Четырехугольники (построения) ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Хорды и секущие (прочее) ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Решение

Построение основано на двух леммах. 1. Диагонали всех четырехугольников, вписанных в данную окружность с центром O и описанных около данной окружности с центром I , пересекаются в одной и той же точке L , лежащей на продолжении отрезка OI за точку I . 2. Центр вписанной в четырехугольник окружности лежит на прямой, соединяющей середины его диагоналей (Теорема Монжа). Отметим также, что в любом четырехугольнике точка M пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, делит пополам отрезок между серединами диагоналей. Из леммы 1 следует, что середины диагоналей искомого четырехугольника лежат на окружности с диаметром OL . Отсюда и из леммы 2 получаем, что точка M лежит на окружности, диаметрально противоположными точками которой являются I и середина OL . Поэтому, проведя через M прямую, перпендикулярную IM , и найдя точку ее пересечения с OI , мы получим середину OL , а значит, и саму точку L . Далее, построив окружность с диаметром OL и найдя ее точки пересечения с прямой MI , получим середины диагоналей четырехугольника. Кроме того, рассмотрев четырехугольник, две вершины которого лежат на прямой OI , нетрудно убедиться, что для третьей вершины X XI – биссектриса угла OXL (рис.10.6). Это дает возможность восстановить описанную окружность четырехугольника и найти его вершины, как точки пересечения этой окружности с диагоналями.

Источники и прецеденты использования