В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C, тогда и только тогда, когда C = 90^o.

   Решение

Темы:    [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Известно, что     и  x₁ + x₂ + ... + x₆ = 0.  Докажите, что x₁x₂...x₆ ≤ ½.

Решение

  Если среди чисел x₁, x₂, x₆ нечётное число отрицательных или есть ноль, то неравенство очевидно.
  Пусть отрицательных чисел два или четыре. Меняя, если нужно, знаки у всех чисел, можно добиться того, что ровно два числа будут отрицательными (пусть это x₁ и x₂). Положим  y_k = |x_k|.  Тогда     и  y₁ + y₂ = y₃ + y₄ + y₅ + y₆.  Обозначим последнюю сумму через s . Тогда  
  Значит,     С другой стороны,     и     что следует из неравенства между средним арифметическим и средним квадратичным. Таким образом,  
  Стало быть,  s² ≤ 8  и  x₁x₂...x₆ = y₁y₂...y₆ ≤ s⁶·4^–5 ≤ 8³·4^–5 = ½.

Источники и прецеденты использования